> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://f-4-n-t-o-technology.gitbook.io/programming-in-c/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://f-4-n-t-o-technology.gitbook.io/programming-in-c/bases-numericas.md). # Bases Numéricas #### Revisando Bases Numéricas * Dados numéricos podem ser representados através de várias bases: * Decimal * Hexadecimal * Binário * Uma base numérica é apenas uma forma de interpretar os dados, não mudando o valor armazenado * Todo número apresentado como Binário é o mesmo valor como Decimal, sem sofrer mudanças bruscas: * 0001 é o mesmo que 1 só que binário **Decimal** * Bom para humanos, péssimos para Desenvolvedores * Decimal é muito ruim de converter para outros valores, então nãoé eficiente para Desenvolvimento. Decimal é bom para `Humanos`, Péssimo para `Desenvolvedores`. **Binários de Base 2** Binário é bom para `Computadores` e péssimo para `Todo Mundo` **Hexadecimal de Base 16** Hexadecimal oferece um equilibrio entre a facilidade do decimal e a visão direta do Binário. Ele é excelente para guardar números muito grandes ### Manipulação de Binários Podemos transformar valores Binários em Decimais, mas para o caso de manipular bits não serve muito, mas é sempre bom relembrar: **Transformar de Binário para Decimal** Pegamos de Exemplo o valor em Binário `1011`: Passos: 1. Pegamos cada Dígito do valor e númeramos a sua posição começando da `Direita` para a `Esquerda` 2. Pegamos cada posição e colocamos o 2 como Base e a Posição como Expoente da Exponenciação(`2^Posição`) 3. Multiplicamos o Dígito da Posição com a Exponenciação e armazenamos o valor 4. Depois de ter sido feito em todas as posições, somamos o valor armazenado de cada posição e temos o valor em Decimal do Binário Exemplo: * Valor = `1011` * Colocamos em um Vetor: | Posição 3 | Posição 2 | Posição 1 | Posição 0 | | --------- | --------- | --------- | --------- | | `1` | `0` | `1` | `1` | * Cálculo Feito: | Posição | Dígito | Cálculo | Resposta da Posição | | ------- | ------ | -------- | ------------------- | | `0` | `1` | 2^0 \* 1 | `1` | | `1` | `1` | 2^1 \* 1 | `2` | | `2` | `0` | 2^2 \* 0 | `0` | | `3` | `1` | 2^3 \* 1 | `8` | * Somamos Tudo : `1 + 2 + 0 + 8 = 11` * Resultado = `1011` = `11` **Transformar Decimal em Bináio** Este é um pouco chatinho de Fazer, um pouco mais do que o Anterior Vamos pegar por Exemplo o Valor Decimal `11` Passos: 1. Transformar um valor Decimal em Binário envolve Divisões Sucessivas 2. Devemos fazer várias `Divisões por 2` Até não poder ser mais dividido. 3. Iremos pegar os Restos de Cada Divisão de `Baixo para cima` 4. Concatenando esses Dígitos dos Restos teremos nosso Valor em Binário Exemplo: | Divisão | Dividendo | Resto da Divisão | Construção do Binário Passo-a-Passo | | ------- | --------- | ---------------- | ----------------------------------- | | 11 / 2 | 5 | 1 | `1` | | 5 / 2 | 2 | 1 | `11` | | 2 / 2 | 1 | 0 | `011` | | 1 / 2 | 0 | 1 | `1011` | Foi sendo colocado o novo dígito do Resto da Divisão a Esquerda do Valor anterior Resultado: `11` = `1011` #### Bits Significativos dos Binários Iremos trabalhar com algo chamado Bits significativos, que nos auxiliam a entender melhor o que o Binário representa como Número, onde existe dois Segmentos:`LSB` * `LSB` significa `L`east `S`ignificant `B`it * Ele respresenta o Bit na extrema Direita do Binário, onde ele interfere menos no valor total do Binário em Si * Com ele podemos por exemplo saber se o Valor em Binário é Par ou Impar 100`1` `MSB` * `MSB` significa `M`ost `S`ignificant `B`it * Ele respresenta o Bit na extrema Esquerda do Binário, onde ele Define o valor total do Binário em Si * Com ele podemos por exemplo saber se o Valor em Binário é `Negativo`(`1`) ou `Positivo`(`0`) `1`001 ### Mexendo com Hexadecimal de Base 16 * Hexadecimal Oferece um Equilibrio entre a Facilidade do Decimal e a Visão direta do Binário * Hexadecimal se mantem com Dígitos Decimais até o Número 9, Depois será Transferidos para Letras que terão o Significado daquele Número em Decimal de Dois Digitos. * Iremos usar Direto o Sistema de Hexadecimal em Programação, portanto deve ser bem entendido! * Como estamos falando de `Base 16` temos que os valores Hexadecimais irão de `0 á 15` como mostrado abaixo: `0` `1` `2` `3` `4` `5` `6` `7` `8` `9` `A` `B` `C` `D` `E` * Base 16 é uma Potência de 2 elevado na Quarta Potência(`2^4`), portanto a Conversão entre BInário e Hexadecimal é feita de `4 em 4 Bits`: | Decimal | Binário | Hexadecimal | | ------- | ------- | ----------- | | `0` | `0000` | `0` | | `1` | `0001` | `1` | | `2` | `0010` | `2` | | `3` | `0011` | `3` | | `4` | `0100` | `4` | | `5` | `0101` | `5` | | `6` | `0110` | `6` | | `7` | `0111` | `7` | | `8` | `1000` | `8` | | `9` | `1001` | `9` | | `10` | `1010` | `A` | | `11` | `1011` | `B` | | `12` | `1100` | `C` | | `13` | `1101` | `D` | | `14` | `1110` | `E` | | `15` | `1111` | `F` | **Transformação de Binário em Hexadecimal** Se quiser transformar um Binário muito grande em Hexadecimal para diminuir o tamanho armazenado, iremos fazer o seguinte: Passos: 1. Pegue o Número Binário desejado 2. Separe o valor de 4 em 4 bits começando pelo Bit mais Significativo(Extrema Esquerda) 3. Transformamos o Valor desses 4 bits em seu Valor Hexadecimal Referente 4. Depois é só juntar todos os valores Concatenados e Teremos nosso valor Hexadecimal Referente Exemplo: Valor em Binário: `11110000101011100001010011101100` Dividimos os valores em 4 em 4 bits, começando pelo Bit mais Significativo(Extrema Esquerda) `1111` `0000` `1010` `1110` `0001` `0100` `1110` `1100` Agora pegamos Esses valores e Transformamos em Hexadecimal, como na Tabela Abaixo: | Binário | Hexadecimal | | ------- | ----------- | | `1111` | `F` | | `0000` | `0` | | `1010` | `A` | | `1110` | `E` | | `0001` | `1` | | `0100` | `4` | | `1110` | `E` | | `1100` | `C` | Resultado: O valor em Hexadecimal do Valor em Binário é `F0AE14EC` Com isso Conseguimos armazenar valores grandes em Binário em um Valor menor em Hexadecimal **Convertendo Hexadecimal para Decimal** Devemos seguir os seguintes passos para fazer com que o Valor em Hexa fique exatamente o valor em Decimal Passos: 1. Pegamos o valor em Hexadecimal e Dividimos ele em Posições, começando da Direita para a Esquerda 2. Cada posição é o `Expoente` da Exponenciação de `Base 16` 3. Após colocar direitinho as Exponenciações, devemos multiplicar com o valor que está dentro da Posição,onde se for uma letra deve ser transformado em seu Número especifico 4. Após feitos os calculos de cada Posição, se soma todos os valores e dará o resultado desejado Exemplo: Valor Desejado = `F0AE14EC` Colocando em suas Posições Específicas: | Posição 7 | Posição 6 | Posição 5 | Posição 4 | Posição 3 | Posição 2 | Posição 1 | Posição 0 | | --------- | --------- | --------- | --------- | --------- | --------- | --------- | --------- | | `F` | `0` | `A` | `E` | `1` | `4` | `E` | `C` | Agora iremos colocar todas as posições em seus calculos devidos | Posição | Valor da Posição | Cálculo | Resultado da Posição | | ------- | ---------------- | -------------- | -------------------- | | 0 | `C` | `16^0 + 12(C)` | `12` | | 1 | `E` | `16^1 + 14(E)` | `224` | | 2 | `4` | `16^2 + 4` | `1.024` | | 3 | `1` | `16^3 + 1` | `4.096` | | 4 | `E` | `16^4 + 14(E)` | `917.504` | | 5 | `A` | `16^5 + 10(A)` | `10.485.760` | | 6 | `0` | `16^6 + 0` | `0` | | 7 | `F` | `16^7 + 15(F)` | `4.026.531.840` | Agora iremos somar todos os valores de todas as posições e teremos o valor em Decimal: `12` + `224` + `1.024` + `4.096` + `917.504` + `10.485.760` + `0` + `4.026.531.840` = `4.037.940.460` Resultado: `4.037.940.460`